Aging and rejuvenation with fractional derivatives

Discutimos un procedimiento dinámico que hace surgir derivadas fraccionarias en el límite asintótico temporal de procesos no Poisson. Encontramos que las fluctuaciones de dos estados, con una distribución de ley de potencia inversa de tiempos de espera, un primer momento finito y un segundo momento divergente, es decir, con el índice de potencia 𝜇 en el intervalo 2<𝜇<3, producen una ecuación maestra generalizada equivalente a la suma de una contribución ordinaria de Markov y un término de derivada fraccionaria. Demostramos que el orden de la derivada fraccionaria depende de la antigüedad del proceso en estudio. Si el sistema es infinitamente antiguo, el orden de la derivada fraccionaria, ℴ, viene dado por ℴ=3−𝜇. Un sistema completamente nuevo se caracteriza por el grado ℴ=𝜇−2. Si el sistema se prepara en el tiempo −𝑡𝑎<0 y la observación comienza en el tiempo 𝑡=0, derivamos el siguiente escenario. Para tiempos 0<𝑡⪡𝑡𝑎, el sistema se describe satisfactoriamente mediante la derivada fraccionaria con ℴ=3−𝜇. Al aumentar el tiempo, el sistema experimenta un proceso de rejuvenecimiento que, en el límite de tiempo 𝑡⪢𝑡𝑎, produce ℴ=𝜇−2. El régimen de tiempo intermedio probablemente sea incompatible con una imagen basada en derivadas fraccionarias o, al menos, con una derivada fraccionaria de un solo orden.